3.2 频域变换的一般表达式
3.3 离散余弦变换
二维傅里叶变换可用通用的关系是来表示：
(1)
(2)
式中： ； ； 和 分别称为 正向变换核 和 反向变换核 。
如果
(3)
(4）
则正、反变换换核是可分离的。进一步，如果 和 , 和 在函数形式上一样，则称该变换是可对称的。
二维傅立叶变换对是式 (1) 和式 (2) 的一个特殊情况， 它们的核为:
(5)
(6)
它们都是可分离的和对称的。
二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性， 用两次一维变换来实现，即可先对 的每一行进行一维变换得到 ，再沿 每一列取一维变换得到变换结果 。
对于其他的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样也可用两次一维变换来实现。
如果先对 的每一列进行一维变换得到 ，再沿 每一行取一维变换得到 ，其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的 变换核为余弦函数 。
DCT除了具有一般的 正交变换 性质外， 它的 变换阵的基向量能很好地描述 人类语音信号和图像信号的相关特征 。
余弦变换实际上是 傅立叶变换的实数部分 。
因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。
近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是一种可分离的变换。
余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。
一维DCT的 变换核 为：
(7)
式中，
一维DCT定义如下： 设 为离散的信号列。
(9)
式中，
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即
(10)
其中
一维DCT的逆变换IDCT定义为:
(12)
式中， 。可见一维DCT的 逆变换核与正变换核是相同的 。
离散余弦变换: 正变换与反变换的核函数相同
考虑到两个变量，将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为
(13)
式中， 和 的定义同式 (8) ； 。
二维DCT定义如下：
设 为 的数字图像矩阵，则
(14)
式中：
二维DCT逆变换定义如下：
(15)
式中： 。
类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：
(16)
同时，由式 (14) 和式 (15) 可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即
(17)
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似。
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）， 比如由FFT的思路发展起来的 FCT。
性质：
在图像的变换编码中有着非常成功的应用
离散余弦变换是傅里叶变换的实数部分，比傅里叶变换有更强的信息集中能力。对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，提高编码的效率。
