3. 图像的变换

内容：

3.4 离散沃尔什哈达玛变换

3.5 K-L 变换

3.4 离散沃尔什哈达玛变换

3.4.1 离散沃尔什哈达玛变换（WHT）——一维离散沃尔什-哈达玛变换

• 沃尔什函数

  • 沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。
  • 沃尔什函数系是一个 完备正交函数系 ，其值只能取＋1和－1。
  • 从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：

    • 一是按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；
    • 二是按照佩利排列来定义（按自然排序）；
    • 三是按照哈达玛排列来定义。由于哈达玛排序的沃尔什函数是由 阶哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）得到的，而 哈达玛矩阵的最大优点在于它具有简单的递推关系 ， 即 高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得 ，因此在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。

  阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律对应于某一个沃尔什函数的符号变化规律，即 阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数，哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。 阶哈达玛矩阵有如下形式：

哈达玛矩阵的阶数是按 规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即

矩阵的 克罗内克积 (Kronecker Product) 运算用符号记作 ， 其运 算规律如下：

则

• 一维离散沃尔什变换定义为:

(1)

• 一维离散沃尔什逆变换定义为:

(2)

式中， 为沃尔什函数。若将 用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则式 (1) 和式 (2) 分别为：

和

式中

由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将 离散序列 的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算 ， 因此，它比采用复数运算的DFT 和 采用余弦运算的DCT要简单得多。

3.4.2 离散沃尔什哈达玛变换（WHT）——二维离散沃尔什-哈达玛变换

很容易将一维WHT的定义推广到二维WHT。二维WHT的正变换核和逆变换核分别为：

(6)

和

(7)

式中： 。

例题：

二维矩阵为：

求这两个信号的二维 。

解：

根据题意， ， 其二维 变换核为:

所以

3.5 K-L 变换

• 卡洛南-洛伊(karhunen-Loeve)变换，简称K-L变换，也叫霍特林变换或者主成分分析。
• K-L变换 也常称为主成分 变换 (PCA)，是一种基于图像统计特性的变换 ，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零 (所以大家也叫它最佳变换 )，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。
• 在模式识别和图像处理中一个主要的问题就是降维，在实际的模式识别问题中，我们选择的特征经常彼此相关，在识别这些特征时，数量很多，大部分都是无用的。

3.5.1 K-L变换主导思想

★

假定一幅图像在某个通讯信道中传输了M次，由于任何物理信道均存在随机千扰因素，接收到的图像系列总混杂有许多随机干扰信号，称之为随机图像集合，集合中各图像之间存在相关性但又不相等。

K-L变换本质上是针对这类广泛的 随机 图像提出来的，当对M个图像施加了K-L变换以后，变换后的M新图像组成的集合中各图像之间 互不相关 。

由变换结果图像集中取有限个图像K（K<M）而恢复的图像将是原图像在 统计意义 上的最佳逼近。

”

3.5.2K-L变换原理

设 和 为两个维随机向量，其元素 ；分别具有 个随机值假定 能由 精确表示为： 为 正交矩阵，记为 若取 向量的前 个向量 来表示 ，记为 ，可有误差 从统计角度，如何选择 ，使得上述误差的统计均方值达到极小。

通过数学分析，可得出结论如下： 对正交矩阵 若取 ：为 的协方差矩阵 的特征向量，则对 进行下述变换后 (1) 其结果 向量可满足前述要求; 上述变换式 (1) 与反变换 (2) 称之为 变换， 通常又称之为Hotelling变换、特征向量变换或主成分分析 。

3.5.3 K-L变换计算

待补充