2. 数字图像基础

2.1 图像的数字化

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图像的数字化包括采样(取样)和量化两个过程。

为了计算机处理，图像函数 在空间和取值上必须数字化.

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首先大概地了解一下图像的采样及数字图像的表示，然后再对采样和量化的细节做总结。

配合下面几张图可以快速地了解采样和量化的基本概念：

• 图(1)显示了一幅连续图像 ，要把它转换为数字形式，一幅图像的 和 坐标及幅值可能都是连续的，为将它转换为数字形式，必须在坐标上和幅值上都进行取样操作。在坐标值进行数字化称为 取样，对幅值数字化称为量化。
• 图(2)中的一维函数是图(1)中沿线段AB的连续图像幅度值(灰度级)的曲线。随机变化是由图像噪声引起的。
• 为了对该函数取样，我们沿线段AB等间隔地对该函数 取样，如图(3)所示。每个样本地空间位置由图形底部地垂直刻度指出。这样地一组离散位置就给出了取样函数。
• 还有一个问题是，样本值仍(垂直)跨越了灰度值地连续范围。为了形成数字函数，灰度值也必须转换(量化)为离散量。图(3)的右侧显示了已分为 8 个离散区间的灰度标尺，范围从黑到白。垂直刻度标记指出了赋予 8 个灰度的每一个特定值。通过对每一样本赋予8个离散灰度级中的一个来量化连续灰度级。赋值取决于该样本与一个垂直刻度标记的垂直接近程度。
• 最终取样和量化操作生成的数字样本如图(4)所示 。从该图像的顶部开始逐行执行这一过程，则会产生一幅二维数字图像。上图意味着除了所用的离散级数外，量化所达到的精度强烈地依赖于取样信号地噪声。

数字图像表示

令 表示一幅具有两个连续变量 和 的连续图像函数，设图像 经数字化后，可以用一个离散量组成的矩阵 （即二维数组）来表示。

• 该矩阵包含有 行和 列，其中 是离散坐标。为表达清楚和方便起见，对这些离散坐标使用整数值：

  和

• 这样，数字图像在原点的值就是 ，第一行中下一个坐标处的值就是 。矩阵中的每一个元素称为一个像素； 代表 点的灰度值，即亮度值。用 的数值来表示 位置点上灰度级值得大小，即只反映了黑白灰度得关系。如果是一幅 彩色图像，各点的数值还应当反应色彩的变化，可用 表示，其中 表示波长。如果图像是 运动的，还应是时间 的函数，即可表示为 。

• 符号 表示第一行的第二个样本，它并不意味着是对图像取样时的物理坐标值。通常，图像在任何坐标处 的值记为 ,其中 和 都是整数。由一幅图像的坐标张成的实平面部分称为 空间域， 和 称为空间变量或者空间坐标。

2.1.1 图像的采样

• 图像在空间上的离散化称为采样。也就是用空间上部分点的灰度值代表图像，这些点称为采样点。
• 由于图像是一种二维分布的信息，为了对它进行采样操作，需要先将二维信号变为一维信号，再对一维信号完成采样。

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具体做法：

先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序地沿水平直线扫描，取出各水平线上灰度值的一维扫描。

再对一维扫描线信号按一定间隔采样得到离散信号，即先沿垂直方向采样，再沿水平方向采样这两个步骤完成采样操作。对于运动图像（即时间域上的连续图像），需先在时间轴上采样，再沿垂直方向采样，最后沿水平方向采样这三个步骤完成。

”

• 对一幅图像采样时，若每行(即横向)像素为 个，每列(即纵向)像素为 个，则图像大小为 个像素。

• 在进行采样时，采样点间隔的选取(即采样点的数目)是一个非常重要的问题，它决定了采样后图像的质量，即忠实于原图像的程度。采样间隔的大小选取要依据原图像中包含的细微浓淡变化来决定。一般，图像中细节越多，采样间隔应越小。根据采样定理，若一维信号 的最大频率为 ,以 为采样间隔进行采样，则能够根据采样结果 完全恢复 。

• 与采样相关的分辨率的概念

  分辨率：是指映射到图像平面上的单个像素的景物元素的尺寸。单位：像素/英寸，像素/厘米

  ​ 或者是指要精确测量和再现一定尺寸的图像所必需的像素个数。单位:像素 像素

2.1.2 量化

为什么进行量化？

• 模拟图像经过采样后，在时间和空间上离散化为像素。但采样所得的像素(即灰度值)仍是连续量。把采样后所得的各像素的灰度值从模拟量到离散量的转换称为 图像灰度的量化。
• 若连续灰度值用z表示，对于满足 的 值，都量化为 ; 称为像素的灰度值， 与 的差称为量化误差。一般，像素值量化后用一个字节 来表示。

如下图所示，把由黑-灰-白的连续变化的灰度值，量化为 ~ 共 级灰度值，灰度值的范围为 ~ ，表示亮度从深到浅，对应图像中的颜色从黑到白。

• 量化的方法有两种：一种是等间隔量化，另一种是非等间隔量化。

  • 等间隔量化就是简单地把采样值的灰度范围 等间隔地分割并进行量化。对于像素灰度值在黑-白范围较均匀分布的图像，这种量化方法可以得到较小的量化误差。该方法也称为均匀量化或线性量化。
  • 非均匀量化是依据一幅图像具体的 灰度值分布的概率密度函数，按 总的量化误差最小的原则来进行量化。具体的做法是对图像中像素灰度值频繁出现的灰度范围，量化间隔取小一些，而对那些像素灰度值极少出现的范围，则量化间隔取大一些。
• 由于图像灰度值的概率分布密度函数因图像不同而异，所以不可能找到一个适用于各种不同图像的最佳非等间隔量化方案。因此，实用上 一般都采用等间隔量化。

2.1.3 采样与量化参数的选择

可以由上图看出，数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化中的样本数（取样的密度）和灰度级（量化的最小单位）。

• 一幅图像在采样时，行、列的采样点与量化时每个像素量化的级数，既影响数字图像的质量，也影响到该数字图像数据量的大小。

• 假定图像取 个样点，每个像素量化后的灰度二进制位数为 ，一般 总是取为2的整数幂，即 , 则存储一幅数字图像所需的二进制位数 为:

  存储一幅数字图像所需的字节数为：

  有 种颜色

• 对一幅图像，当量化级数 一定时，采样点数 对图像质量有着显著的影响。

• 采样点数越多，图像质量越好； 当采样点数减少时，图上的块状效应就逐渐明显。

(a)原始图像

(b)采样图像1 (c)采样图像2

(d)采样图像3 (e)采样图像4 (f)采样图像5

• 当图像的采样点数一定时，采用不同量化级数的图像质量也不一样。如图 所示，量化级数越多，图像质量越好，当量化级数越少时，图像质量越差， 量化级数最小的极端情况就是二值图像， 图像出现假轮廓。

(a)原始图像

(b)量化图像1 (c)量化图像2

(d)量化图像3 (e)量化图像4 (f)量化图像5

• 当限定数字图像的大小时，为了得到质量较好的图像可采用如下 原则：

  (1) 对缓变的图像，应该细量化，粗采样，以避免假轮廓。

  (2) 对细节丰富的图像，应细采样，粗量化，以避免模糊（混叠）。

• 对于彩色图像，是按照颜色成分——红（R）、绿（G）、蓝（B） 分别采样和量化的。若各种颜色成分均按8 bit量化，即每种颜色量级别是256， 则可以处理256×256×256=16 777 216种颜色。

2.1.4 图像数字化设备

• 将模拟图像数字化成为数字图像，需要某种图像数字化设备。常见的数字化设备有数字相机、扫描仪、数字化仪等。
• 图像数字化设备的性能主要有像素大小、图像大小、线性度、噪声等。